Question

【題目】已知橢圓，長軸長為4，，分別為橢圓的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上的任意一點(diǎn)，面積的最大為，且取得最大值時(shí)為鈍角.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）已知圓，點(diǎn)為圓上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)的切線分別交橢圓于兩點(diǎn)，且，求的值.

Answer 1

【答案】（1） （2）

【解析】

(1)由條件，當(dāng)點(diǎn)在短軸的端點(diǎn)或時(shí)，的面積最大得，又當(dāng)的面積取得最大值時(shí)為鈍角得 ，可解出橢圓方程.

(2)分切線的斜率存在和不存在兩種情況計(jì)算，由，即 方程聯(lián)立代入結(jié)合直線與圓相切計(jì)算可得答案.

(1)設(shè)，短軸的端點(diǎn)分別為.

由橢圓的長軸為4，則.

當(dāng)點(diǎn)在短軸的端點(diǎn)或時(shí)，的面積最大，則 ……

當(dāng)的面積取得最大值時(shí)為鈍角.

即，所以，即……………

又 ………

由解得：

所以橢圓方程為：.

(2)設(shè)圓上過點(diǎn)的切線為直線 .

當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)， ，則

由，即，解得：.

當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)

由直線與圓相切得：即：.

設(shè)

由 得：

則

由，即

所以，即

所以

即，則.

由得.

所以.

綜上所述的值為.