Question

【題目】已知函數(shù)，其中為常數(shù).

（1）當時，解不等式；

（2）已知是以2為周期的偶函數(shù)，且當時，有.若，且，求函數(shù)的反函數(shù)；

（3）若在上存在個不同的點，，使得，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）直接利用絕對值不等式的解法及應(yīng)用求出結(jié)果．

（2）利用函數(shù)的周期和函數(shù)的關(guān)系式的應(yīng)用求出函數(shù)的反函數(shù)．

（3）利用絕對值不等式的應(yīng)用和函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，利用分類討論思想的應(yīng)用求出結(jié)果．

解：（1）解不等式

當時，，所以

當時，，所以，

綜上，該不等式的解集為

（2）當時，，

因為是以2為周期的偶函數(shù)，

所以，

由，且，得，

所以當時，

所以當時，

，

所以函數(shù)的反函數(shù)為

（3）①當時，在上，是上的增函數(shù)，所以

所以，得；

②當時，在上，是上的增函數(shù)，所以

所以，得；

③當時，在上不單調(diào)，所以

，，

在上，.

，不滿足.

綜上，的取值范圍為.

③當時，則，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，于是

令，解得或，不符合題意；

④當時，分別在、上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

令，解得或，不符合題意.

綜上，所求實數(shù)的取值范圍為.