Question

【題目】如圖所示的幾何體中，為直三棱柱，四邊形為平行四邊形，， .

（1）若，證明：四點(diǎn)共面，且；

（2）若，二面角的余弦值為，求直線(xiàn)與平面所成角.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.

【解析】

（1）根據(jù)三棱柱的性質(zhì)及平行四邊形性質(zhì),可證明四邊形為平行四邊形,則四點(diǎn)共面;由和可得四邊形為正方形, 連接交于.在中由余弦定理可得,進(jìn)而可知,則可證明平面,從而.

（2）結(jié)合（1）,建立空間直角坐標(biāo)系,寫(xiě)出各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo),用表示出平面和平面的法向量,利用二面角的余弦值為求得的值.由的值可判斷出平面,所以在正方形中即可求得直線(xiàn)與平面所成角的大小.

（1）證明：因?yàn)?/span>為直三棱柱,

所以∥,且,

又因?yàn)樗倪呅?/span>為平行四邊形,

所以∥,且,

所以∥,且,

所以四邊形為平行四邊形,

所以,,,四點(diǎn)共面；

因?yàn)?/span>,又平面,

所以,所以四邊形為正方形,

連接交于,如下圖所示:

所以,在中,,

在中由余弦定理得,

所以,所以,

所以,又,

所以平面,所以,

又因?yàn)?/span>,所以平面；

所以

（2）由（1）知,可建立如下圖所示的空間直角直角坐標(biāo)系:

則,,

,,,

,

設(shè)平面的法向量為,

由即,令,可得

設(shè)平面的法向量為

由得令,可得,

由

得,因?yàn)?/span>,所以

此時(shí),,所以四邊形為正方形,

因?yàn)?/span>,,

又因?yàn)?/span>,所以平面,

所以與平面所成角為