Question

已知．
（1）曲線y=f（x）在x=0處的切線恰與直線垂直，求的值；
（2）若x∈[a，2a]求f（x）的最大值；
（3）若f（x₁）=f（x₂）=0（x₁＜x₂），求證：．

Answer 1

（1）；（2）當(dāng)，即時(shí)，，當(dāng)，即時(shí)，，當(dāng)，即時(shí)，；（3）證明過(guò)程詳見(jiàn)解析.

解析試題分析：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值、切線方程以及不等式的證明等基礎(chǔ)知識(shí)，考查分類討論思想，綜合分析和解決問(wèn)題的能力.第一問(wèn)，對(duì)求導(dǎo)，將代入得到切線的斜率，由已知切線與直線垂直得出方程，解出的值；第二問(wèn)，先對(duì)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)判斷出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再討論已知和單調(diào)區(qū)間的關(guān)系來(lái)決定最值的位置；第三問(wèn)，利用第二問(wèn)的結(jié)論，得出，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/b5/8/udoon1.png" style="vertical-align:middle;" />，所以數(shù)形結(jié)合，得，解得，數(shù)形結(jié)合得出兩組點(diǎn)的橫坐標(biāo)的關(guān)系，又利用，得出，，進(jìn)行轉(zhuǎn)換得到所求證的不等式.
試題解析：（1）由，
得：，則，
所以，得.
（2）令，得，即.
由，得，由，得，
∴在上為增函數(shù)，在為減函數(shù).
∴當(dāng)，即時(shí)，.
當(dāng)，即時(shí)，.
當(dāng)，即時(shí)，.
（3）由（2）知，，
∵，∴，
∴，得，∴，且.
得，又，，
∴.
考點(diǎn)：1.利用導(dǎo)數(shù)求切線的斜率；2.兩條直線垂直的充要條件；3.利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性；4.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值.