Question

已知函數(shù)，其中為常數(shù)．
（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若任取，求函數(shù)在上是增函數(shù)的概率．

Answer 1

（Ⅰ）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間分別為和；（Ⅱ）函數(shù)在上是增函數(shù)的概率為．

解析試題分析：（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，首先將代入，我們易求出函數(shù)的解析式，從而求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)后，令導(dǎo)函數(shù)的函數(shù)值大于等于0，由此構(gòu)造關(guān)于的不等式，解不等式即可得到函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（Ⅱ）求函數(shù)在上是增函數(shù)的概率，這是一個(gè)幾何概型問題，我們可以先畫出，對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域的面積，然后再求出滿足條件函數(shù)在上是增函數(shù)時(shí)對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域的面積，計(jì)算出對(duì)應(yīng)的面積后，代入幾何概型公式即可得到答案．
試題解析：（1）當(dāng)時(shí)，， 
令，,解得或，
故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間分別為和 
（2）
若函數(shù)在上是增函數(shù)，則對(duì)于任意，恒成立．
所以，，即           8分
設(shè)“在上是增函數(shù)”為事件，則事件對(duì)應(yīng)的區(qū)域?yàn)?br />
全部試驗(yàn)結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域，
所以，
故函數(shù)在上是增函數(shù)的概率為 
考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；幾何概型；概率的應(yīng)用．