Question

【題目】已知橢圓的左，右兩個(gè)焦點(diǎn)為、，拋物線與橢圓有公共焦點(diǎn).且兩曲線、在第一象限的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.

（1）求橢圓和拋物線的方程；

（2）直線與拋物線的交點(diǎn)為、（為坐標(biāo)原點(diǎn)），與橢圓的交點(diǎn)為、（在線段上），且.問滿足條件的直線有幾條，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；；（2）滿足條件的直線有條，理由見解析.

【解析】

（1）由橢圓和拋物線的公共焦點(diǎn)可求得拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，再由點(diǎn)在拋物線上可求得點(diǎn)的坐標(biāo)，利用橢圓的定義可求得的值，進(jìn)而求得的值，由此可得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）將直線的方程分別與橢圓、拋物線的方程聯(lián)立，分別求得點(diǎn)、、、的橫坐標(biāo)，由可知點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得出關(guān)于的等式，

（1）由于橢圓和拋物線的公共焦點(diǎn)為，故橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為.

所以，所以拋物線的方程，

由點(diǎn)在拋物線上，所以，

又點(diǎn)又在橢圓上，所以，

所以，又，故，

從而橢圓的方程為；

（2）聯(lián)立直線與橢圓方程得，得，

解得，.

聯(lián)立直線與拋物線得，得，解得，，

由，故為線段的中點(diǎn)，

即，得，

化簡得，解得（負(fù)值含去），

故滿足題意的值有個(gè)，從而存在過原點(diǎn)的有兩條直線滿足題意.