Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若曲線在處切線的斜率為，判斷函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若函數(shù)有兩個零點，求a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）答案見解析；（2）.

【解析】

（1）對求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義代入，可求得切線的斜率，進(jìn)而可得a的值；分別判斷當(dāng)、時，的正負(fù)，即可判斷的單調(diào)性；

（2）當(dāng)時，由得或，分別求出、和時，的單調(diào)性，并求出極值個數(shù)；當(dāng)時，由得，判斷的單調(diào)性，可得，又時，，時，，綜合分析，即可得答案.

（1）由題，

則，得，

此時，由得.

則時，，為增函數(shù)；時，，為增函數(shù)，且，所以為R上的增函數(shù).

（2）①當(dāng)時，由得或，

若，由（1）知，為R上的增函數(shù).

由，，

所以只有一個零點，不符合題意.

若，則時，，為增函數(shù)；時，，為減函數(shù)；時，，為增函數(shù).

而，故最多只有一個零點，不符合題意.

若時，則時，，為增函數(shù)；時，，為減函數(shù)；時，，為增函數(shù).

得，故最多只有一個零點，不符合題意.

②當(dāng)時，由得，

由得，為減函數(shù)，由得，為增函數(shù)，

則.又,

，

所以當(dāng)時，始終有兩個零點.

綜上所述，a的取值范圍是