Question

已知函數f（x）=x²-2ax-2alnx（a∈R，a≠0），則下列說法錯誤的是（　�。�

• A、若a＜0，則f（x）有零點
• B、若f（x）有零點，則a≤

  1

  2

  且a≠0
• C、?a＞0使得f（x）有唯一零點
• D、若f（x）有唯一零點，則a≤

  1

  2

  且a≠0

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用,函數的零點

專題：閱讀型,函數的性質及應用

分析：先將方程f（x）=0進行參變量分離，得到2a=

x2

x+lnx

，令g（x）=

x2

x+lnx

，轉化成y=2a與y=g（x）的圖象的交點個數，利用導數得到函數的單調性，結合函數的圖象可得A，C，D都正確，B錯誤．

解答： 解：令f（x）=x²-2ax-2alnx=0，則2a（x+lnx）=x²，
∴2a=

x2

x+lnx

，令g（x）=

x2

x+lnx

，
則g′（x）=

2x(x+lnx)-x2(1+ 1 x )

(x+lnx)2

=

x(x-1+2lnx)

(x+lnx)2

令h（x）=x+lnx，通過作出兩個函數y=lnx及y=-x的圖象（如右圖）
發(fā)現h（x）有唯一零點在（0，1）上，
設這個零點為x₀，當x∈（0，x₀）時，g′（x）＜0，g（x）在（0，x₀）上單調遞減，x=x₀是漸近線，
當x∈（x₀，1）時，g′（x）＜0，則g（x）在（x₀，1）上單調遞減，
當x∈（1，+∞）時g′（x）＞0，g（x）在（1，+∞）單調遞增，
∴g（1）=1，可以作出g（x）=

x2

x+lnx

  的大致圖象，
結合圖象可知，當a＜0時，y=2a與y=g（x）的圖象只有一個交點，則函數y=f（x）只有一個零點，故選項A正確；
若函數y=f（x）有零點，則a＜0或a≥

1

2

，故選項B不正確；
存在a=

1

2

＞0，函數y=f（x）有唯一零點，故選項C正確；
若函數y=f（x）有唯一零點，則a=

1

2

或a＜0，則a≤

1

2

且a≠0，故選項D正確．
故選：B．

點評：本題考查了函數的零點與方程根的關系．函數的零點等價于對應方程的根，等價于函數的圖象與x軸交點的橫坐標，解題時要注意根據題意合理的選擇轉化．常運用數形結合的數學思想方法．屬于中檔題．