Question

4．在平面直角坐標系內，設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）為不同的兩點，直線l的方程為ax+by+c=0，$λ=\frac{{a{x_1}+b{y_1}+c}}{{a{x_2}+b{y_2}+c}}$．給出下列5個命題：
①存在實數λ，使點N在直線l上；
②若λ=1，則過M，N兩點的直線與直線l平行；
③若λ=-1，則直線l經過線段MN的中點；
④若λ＞1，則點M，N在直線l的同側；
⑤若0＜λ＜1，則點M，N在直線l的異側．
其中正確的命題是②③④（寫出所有正確命題的序號）．

Answer 1

分析 ①．由$λ=\frac{{a{x_1}+b{y_1}+c}}{{a{x_2}+b{y_2}+c}}$可得：（ax₂+by₂+c≠0），即可判斷出點N（x₂，y₂）與直線l的關系．
②．λ=1，則a（x₁-x₂）+b（y₁-y₂）=0，即過過M，N兩點的直線與直線l的斜率的關系，又點N（x₂，y₂）不在直線l上，即可判斷出兩條直線位置關系；
③．λ=-1，ax₁+by₁+c+（ax₂+by₂+c）=0，化為$a•\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$+$b•\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$+c=0，即可判斷出正誤；
④．由（ax₁+by₁+c）（λ（ax₂+by₂+c）＞0，即可判斷出點M，N與直線l的位置關系；
⑤．同④可知：點M，N在直線l的同側．

解答 解：對于①，$λ=\frac{{a{x_1}+b{y_1}+c}}{{a{x_2}+b{y_2}+c}}$化為：ax₁+by₁+c-λ（ax₂+by₂+c）=0（ax₂+by₂+c≠0），即點N（x₂，y₂）不在直線l上，因此①不正確．
對于②，λ=1，則a（x₁-x₂）+b（y₁-y₂）=0，即過過M，N兩點的直線與直線l的斜率相等，又點N（x₂，y₂）不在直線l上，因此兩條直線平行，正確；
對于③，λ=-1，則ax₁+by₁+c+（ax₂+by₂+c）=0，化為$a•\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$+$b•\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$+c=0，因此直線l經過線段MN的中點，正確；
對于④，λ＞1，則（ax₁+by₁+c）（λ（ax₂+by₂+c）＞0，則點M，N在直線l的同側，正確；
對于⑤，若0＜λ＜1，同④可知：點M，N在直線l的同側，因此不正確．
綜上可知：只有②③④正確．
故答案為：②③④．

點評 本題考查了直線系方程的應用、平行直線的判定、點與直線的位置關系，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．