Question

19．如圖，將一個邊長為1的正三角形的每條邊三等分，以中間一段為邊向形外作正三角形，并擦去中間一段，得圖（2），如此繼續(xù)下去，得圖（3）…，記第n個圖形的邊長a_n，周長為b_n．

（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（2）若第n個圖形的面積為S_n，試探究S_n，S_n-1，（n≥2）滿足的關系式，并證明：S_n＜$\frac{2\sqrt{3}}{5}$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)圖形關系，建立圖形邊長和周長之間的關系即可求出數(shù)列的通項公式．
（2）根據(jù)歸納推理，求出兩個圖形的面積之間的關系，結合等比數(shù)列的通項公式進行求和即可得到結論．

解答 解：設第n個圖形的邊長為a_n，
由題意知，從第2個圖形起，每一個圖形的邊長均為上一個圖形邊長的$\frac{1}{3}$，
所以數(shù)列{a_n}是首項為1，公比為$\frac{1}{3}$的等比數(shù)列，
故a_n=（$\frac{1}{3}$）^n-1，
要計算第n個圖形的周長，只需計算第n個圖形的邊數(shù)，
設第n個圖形的邊數(shù)為c_n，第1個圖形的邊數(shù)為3，因為從第2個圖形起，每一個圖形的邊數(shù)均為上一個圖形邊數(shù)的4倍，所以第n個圖形的邊數(shù)為3×4^n-1，
因此，第n個圖形的周長b_n=b_n×c_n=（$\frac{1}{3}$）^n-1×（3×4^n-1）=3×（$\frac{4}{3}$）^n-1．
（2）S₁=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，當n≥2時，S_n=S_n-1+c_n×（$\frac{\sqrt{3}}{4}×{{a}_{n}}^{2}$）=S_n-1+3×${4}^{n-2}×\frac{\sqrt{3}}{4}×[（\frac{1}{3}）^{n-1}]^{2}$=S_n-1+$\frac{3\sqrt{3}}{16}×（\frac{4}{9}）^{n-1}$，
則S_n=S₁+（S₂-S₁）+（S₃-S₂）+…+（S_n-S_n-1）
=$\frac{\sqrt{3}}{4}$+$\frac{3\sqrt{3}}{16}[$$\frac{4}{9}+（\frac{4}{9}）^{2}+（\frac{4}{9}）^{3}+…+（\frac{4}{9}）^{n-1}]$
=$\frac{\sqrt{3}}{4}$+$\frac{3\sqrt{3}}{16}$×$\frac{\frac{4}{9}[1-（\frac{4}{9}）^{n-1}]}{1-\frac{4}{9}}$
=$\frac{2\sqrt{3}}{5}$$-\frac{3\sqrt{3}}{20}×（\frac{4}{9}）^{n-1}$，
則S_n＜$\frac{2\sqrt{3}}{5}$成立．

點評 本題主要考查數(shù)列通項公式和前n項和公式的應用，根據(jù)歸納推理建立數(shù)列的遞推關系是解決本題的關鍵．綜合性較強，有一定的難度．