Question

2．已知數(shù)列{a_n}的通項公式a_n=（2n-1）×2^n-1，求該數(shù)列的前n項和．

Answer 1

分析 通過a_n=（2n-1）×2^n-1可知S_n=1×2⁰+3×2¹+5×2²+…+（2n-1）×2^n-1、2S_n=1×2¹+3×2²+…+（2n-3）×2^n-1+（2n-1）×2ⁿ，利用錯位相減法計算即得結(jié)論．

解答 解：∵a_n=（2n-1）×2^n-1，
∴S_n=1×2⁰+3×2¹+5×2²+…+（2n-1）×2^n-1，
2S_n=1×2¹+3×2²+…+（2n-3）×2^n-1+（2n-1）×2ⁿ，
錯位相減得：-S_n=1+2（2¹+2²+…+2^n-1）-（2n-1）×2ⁿ
=1+2×$\frac{2（1-{2}^{n-1}）}{1-2}$-（2n-1）×2ⁿ
=1+2×2ⁿ-4-（2n-1）×2ⁿ
=-3-（2n-3）×2ⁿ，
∴S_n=3+（2n-3）×2ⁿ．

點評 本題考查數(shù)列的求和，考查錯位相減法，注意解題方法的積累，屬于中檔題．