Question

7．已知某種產品的數量x（件）與其成本y（元）之間的函數關系可以近似用y=ax²+bx+c表示，其中a、b、c為待定常數，現有實際統(tǒng)計數據如下表：

產品數量x（件）	6	10	20
成本合計y（元）	1040	1600	3700

（1）試確定成本函數y=f（x）；
（2）已知這種產品每件的銷售價為200元，求利潤p關于x的函數p=p（x）；
（3）根據利潤p關于x的函數p=p（x）確定盈虧轉折時的產品數量（即產品數量等于多少時，能扭虧為盈或由盈轉虧）．

Answer 1

分析 （1）把表格中的數據對代入二次函數解析式，求解a，b，c的值，則成本函數可求；
（2）由收入減去成本得到利潤函數p=p（x）；
（3）直接求解利潤函數對應的方程，得到函數的兩個零點，由此可以得到盈利和虧損時的產品數量的范圍．

解答 解：（1）將表格中相關數據代入y=ax²+bx+c，
得$\left\{\begin{array}{l}{36a+6b+c=1040}\\{100a+10b+c=1600}\\{400a+20b+c=3700}\end{array}\right.$，
解得a=5，b=60，c=500．
∴y=f（x）=5x²+60x+500，（x≥0）；
（2）∵x（百件）在每件銷售價為200元時的收入為200（百元）=20（千元），
∴p=p（x）
=20x-f（x）
=20x-（5x²+60x+500）
=-5x²-40x+500，（x≥0）；
（3）令p（x）=0，即-5x²-40x+500=0，
解得x=-4-2$\sqrt{58}$（舍）或x=-4+2$\sqrt{58}$≈11.23，
故0＜x＜11.23時，p（x）＞0；x＞11.23時，p（x）＜0，
∴當產品數量為1123件時由盈變虧．

點評 本題考查了函數模型的選擇及應用，考查了簡單的數學建模思想方法，解答此題的關鍵是注意單位的統(tǒng)一，是中檔題，也是易錯題．