Question

18．已知數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=k-kaⁿ（a，k都是不為0的常數(shù)）是數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列的（　　）

• A． 充分非必要條件
• B． 必要非充分條件
• C． 充要條件
• D． 既不充分又不必要條件

Answer 1

分析 判斷該數(shù)列是什么數(shù)列，可把通項公式求出，再進(jìn)行判斷，再根據(jù)充分條件和必要條件進(jìn)行判斷．

解答 解：S_n=k-kaⁿ=k（1-aⁿ）
①當(dāng)a=1時，S_n=0，
且a₁=k（a-1）=0，
a_n=S_n-S_n-1=k（1-aⁿ）-k（1-a^n-1）=0，（n＞1）
a_n-1=S_n-1-S_n-2=k（1-a^n-1）-k（1-a^n-2）=0，
∴a_n-a_n-1=0，
∴數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列．
②當(dāng)a≠1時，
a₁=k（a-1），
a_n=S_n-S_n-1=k（1-aⁿ）-k（1-a^n-1）=k（a^n-1-aⁿ），（n＞1）
a_n-1=S_n-1-S_n-2=（1-a^n-1）-k（1-a^n-2）=k（a^n-2-a^n-1），（n＞2）
∴$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=a，（n＞2）
∴數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列．
∴數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=k-kaⁿ（a，k都是不為0的常數(shù)）推不出數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，
反過來，數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，也推不出S_n=k-kaⁿ，
故數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=k-kaⁿ（a，k都是不為0的常數(shù)）既不是數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列的充分條件，也是必要條件，
故選：D．

點評 本題考查數(shù)列的概念，等差數(shù)列與等比數(shù)列的判定，解題時要注意a=0的情況，避免丟解以及n的范圍滿足數(shù)列的定義．