Question

4．在△ABC中滿足條件acosB+bcosA=2ccosC．
（1）求∠C．
（2）若c=2，求三角形ABC面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理把題設(shè)中關(guān)于邊的等式轉(zhuǎn)換成角的正弦，進(jìn)而利用兩角和公式化簡(jiǎn)整理求得cosC，進(jìn)而求得C．
（2）根據(jù)余弦定理求得a和b的不等式關(guān)系，進(jìn)而利用三角形面積公式表示出三角形的面積，利用a和b的不等式關(guān)系求得三角形面積的最大值．

解答 解：（1）由題意得sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosC，
即sinC=2sinCcosC，故cosC=$\frac{1}{2}$，所以C=$\frac{π}{3}$．
（2）cosC=$\frac{1}{2}$=$\frac{{a}^{2}+^{2}-4}{2ab}$，
所以ab=a²+b²-4≥2ab-4，即ab≤4，等號(hào)當(dāng)a=b時(shí)成立
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC≤$\frac{4}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了余弦定理的應(yīng)用，正弦定理的應(yīng)用，兩角和公式的化簡(jiǎn)求值．綜合考查了學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)的掌握．