Question

19．如圖，在Rt△AOB中，∠OAB=$\frac{π}{6}$，斜邊AB=4．Rt△AOC可以通過Rt△AOB以直線AO為軸旋轉(zhuǎn)得到，且二面角B-AO-C是直二面角，動點D在斜邊AB上．
（Ⅰ）求證：平面COD⊥平面AOB；
（Ⅱ）求CD與平面AOB所成角的正弦的最大值．

Answer 1

分析 （I）根據(jù)題意，得出二面角B-AO-C是直二面角，再證出CO⊥平面AOB，即可得到平面COD⊥平面AOB；
（II）根據(jù)CO⊥平面AOB得∠CDO是CD與平面AOB所成的角，當CD最小時，∠CDO的正弦值最大，求出最大值即可．

解答 解：（I）證明：由題意，CO⊥AO，BO⊥AO，
∴∠BOC是二面角B-AO-C的平面角；
又∵二面角B-AO-C是直二面角，
∴CO⊥BO，
又∵AO∩BO=O，∴CO⊥平面AOB，
又CO?平面COD，∴平面COD⊥平面AOB；
（II）由（I）知，CO⊥平面AOB，
∴∠CDO是CD與平面AOB所成的角；
在Rt△CDO中，CO=BO=ABsin$\frac{π}{6}$=4×$\frac{1}{2}$=2，
∴sin∠CDO=$\frac{CO}{CD}$=$\frac{2}{CD}$；
當CD最小時，sin∠CDO最大，
此時OD⊥AB，垂足為D，
由三角形的面積相等，得
$\frac{1}{2}$CD•AB=$\frac{1}{2}$BC•$\sqrt{{AB}^{2}{-（\frac{BC}{2}）}^{2}}$，
解得CD=$\frac{2\sqrt{2}•\sqrt{{4}^{2}{-（\sqrt{2}）}^{2}}}{4}$=$\sqrt{7}$，
∴CD與平面AOB所成角的正弦的最大值為$\frac{2}{\sqrt{7}}$=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$．

點評 本題考查了平面與平面垂直的判定以及直線與平面所成的角的計算問題，也考查了轉(zhuǎn)化思想的應用問題，是綜合性題目．