Question

【題目】已知橢圓 的左右焦點(diǎn)分別為，直線經(jīng)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)與橢圓交于兩點(diǎn)，且.

（I）求直線的方程；

（II）已知過(guò)右焦點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓交于不同兩點(diǎn)，是否存在軸上一定點(diǎn)，使？（為坐標(biāo)原點(diǎn)）若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）或；（2）

【解析】

（I）解法一：直線方程與橢圓方程聯(lián)立化為一元二次方程，利用弦長(zhǎng)公式即可得出．解法二：利用焦半徑公式可得．

（II） II）設(shè)l2的方程為與橢圓聯(lián)立：．假設(shè)存在點(diǎn)T（t，0）符合要求，設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2）．∠OTP=∠OTQ，再利用根與系數(shù)的關(guān)系即可得出．

解：（I）設(shè)的方程為與橢圓聯(lián)立得

直線經(jīng)過(guò)橢圓內(nèi)一點(diǎn)，故恒成立，設(shè)，則，

，

解得，的方程為或；

解2：由焦半徑公式有，解得.

（II）設(shè)的方程為與橢圓聯(lián)立：，由于過(guò)橢圓內(nèi)一點(diǎn)，

假設(shè)存在點(diǎn)符合要求，設(shè)，韋達(dá)定理：

，點(diǎn)在直線上有

，即， ，

解得.