Question

7．如圖所示，ABCD是正方形，CC₁⊥平面ABCD，且DD₁∥BB₁∥CC₁，菱形AB₁C₁D₁中，∠D₁C₁B₁=α．
（1）求證：BD∥平面AB₁C₁D₁
（2）若直線AC₁與平面ABCD所成的角為θ，求證：cosθ=tan$\frac{α}{2}$．

Answer 1

分析 （1）由已知推導(dǎo)出△DD₁A≌△BB₁A，從而得到BDD₁B₁是矩形，進而得到BD∥B₁D₁，由此能證明BD∥平面AB₁C₁D₁．
（2）由已知得tan$\frac{α}{2}$=tan∠C₁AD₁=$\frac{{D}_{1}O}{AO}$=$\frac{{B}_{1}{D}_{1}}{{AC}_{1}}$，由ABCD是正方形，得AC=BD=B₁D₁，從而cosθ=cos∠CAC₁=$\frac{AC}{A{C}_{1}}$=$\frac{{B}_{1}{D}_{1}}{A{C}_{1}}$．由此能證明cosθ=tan$\frac{α}{2}$．

解答 證明：（1）∵菱形AB₁C₁D₁中，AD₁=AB₁，ABCD是正方形，
CC₁⊥平面ABCD，且DD₁∥BB₁∥CC₁，
∴△DD₁A≌△BB₁A，∴DD₁=BB₁，
∴BDD₁B₁是矩形，∴BD∥B₁D₁，
∵B₁D₁?平面AB₁C₁D₁，BD?平面AB₁C₁D₁，
∴BD∥平面AB₁C₁D₁．
（2）設(shè)AC₁∩B₁D₁=O，連結(jié)AC₁，AB₁，AC，
∵菱形AB₁C₁D₁中，AC₁⊥B₁D₁，∠D₁C₁B₁=α．
∴tan$\frac{α}{2}$=tan∠C₁AD₁=$\frac{{D}_{1}O}{AO}$=$\frac{{B}_{1}{D}_{1}}{{AC}_{1}}$，
∵ABCD是正方形，∴AC=BD=B₁D₁，
∵直線AC₁與平面ABCD所成的角為θ，
∴cosθ=cos∠CAC₁=$\frac{AC}{A{C}_{1}}$=$\frac{{B}_{1}{D}_{1}}{A{C}_{1}}$．
∴cosθ=tan$\frac{α}{2}$．

點評 本題考查線面平行的證明，考查一個角的余弦值等于另一個角的半角的正切值的證明，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．