Question

6．已知f（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$，g（x）=-（x-1）²+a²，若x＞0時，?x₁，x₂∈R，使得f（x₂）≤g（x₁）成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，-$\sqrt{e}$]∪[$\sqrt{e}$，+∞）．

Answer 1

分析 根據(jù)題意?x₁，x₂∈R，使得f（x₂）≤g（x₁）成立，等價于f（x）_min≤g（x）_max，
再求出g（x）_max與f（x）_min的值，利用不等式求出a的取值范圍．

解答 解：?x₁，x₂∈R，使得f（x₂）≤g（x₁）成立，等價于f（x）_min≤g（x）_max，
∵g（x）=-（x-1）²+a²，x＞0，
∴當(dāng)x=1時，g（x）_max=a²；
又∵f（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$，
∴f′（x）=$\frac{{xe}^{x}{-e}^{x}}{{x}^{2}}$=$\frac{（x-1{）e}^{x}}{{x}^{2}}$，
0＜x＜1時，f′（x）＜0，f（x）是減函數(shù)，
x＞-1時，f′（x）＞0，f（x）是增函數(shù)，
∴x=-1時，f′（x）=0，f（x）_min=e；
∴e≤a²，解得a≤-$\sqrt{e}$，或a≥$\sqrt{e}$，
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞-$\sqrt{e}$]∪[$\sqrt{e}$+∞）．
故答案為：（-∞，-$\sqrt{e}$]∪[$\sqrt{e}$，+∞）．

點(diǎn)評 本題考查了特稱命題的應(yīng)用問題，也考查了求函數(shù)最值的應(yīng)用問題，是綜合性題目．