Question

12．已知函數(shù)f（x）=a^x+x²-xlna（a＞0且a≠1），對(duì)任意的x₁，x₂∈[0，1]，不等式|f（x₁）-f（x₂）|≤a-1恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為[e，+∞）．

Answer 1

分析 對(duì)?x₁，x₂∈[0，1]不等式|f（x₁）-f（x₂）|≤a-1恒成立等價(jià)于|f（x₁）-f（x₂）|_max≤a-1，而|f（x₁）-f（x₂）|_max=f（x）_max-f（x）_min，利用導(dǎo)數(shù)可判斷函數(shù)的單調(diào)性，由單調(diào)性可求得函數(shù)的最值，解不等式即可．

解答 解：f′（x）=a^xlna+2x-lna=（a^x-1）lna+2x，
當(dāng)a＞1時(shí)，x∈[0，1]時(shí)，a^x≥1，lna＞0，2x≥0，
此時(shí)f′（x）≥0；
f（x）在[0，1]上單調(diào)遞增，
f（x）_min=f（0）=1，f（x）_max=f（1）=a+1-lna，
而|f（x₁）-f（x₂）|≤f（x）_max-f（x）_min=a-lna，
由題意得，a-lna≤a-1，解得a≥e，
故答案為：[e，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，考查恒成立問題，考查轉(zhuǎn)化思想，考查學(xué)生解決問難的能力．