Question

15．已知a＞0，b＞0，a²+4b²+ab=1，則a+2b的最大值為$\frac{2\sqrt{10}}{5}$．

Answer 1

分析 a²+4b²+ab=1，配方為1=（a+2b）²-3ab，變形利用基本不等式的性質(zhì)可得：（a+2b）²=1+3ab=1+$\frac{3}{2}•a•2b$≤$1+\frac{3}{2}（\frac{a+2b}{2}）^{2}$，解出即可．

解答 解：a²+4b²+ab=1，配方為1=（a+2b）²-3ab，
∴（a+2b）²=1+3ab=1+$\frac{3}{2}•a•2b$≤$1+\frac{3}{2}（\frac{a+2b}{2}）^{2}$，
化為$（a+2b）^{2}≤\frac{8}{5}$，a＞0，b＞0，
∴0＜a+2b$≤\frac{2\sqrt{10}}{5}$，當且僅當a=2b=$\frac{\sqrt{10}}{5}$時取等號．
則a+2b的最大值為$\frac{2\sqrt{10}}{5}$．
故答案為：$\frac{2\sqrt{10}}{5}$．

點評 本題考查了變形利用基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．