Question

【題目】已知在四邊形中，，，，.

（1）求的長(zhǎng)及四邊形的面積；

（2）點(diǎn)為四邊形所在平面上一點(diǎn)，若，求四邊形面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)的位置.

Answer 1

【答案】（1）；（2）四邊形面積的最大值為，此時(shí)且點(diǎn)與點(diǎn)分居于的兩側(cè)

【解析】

（1）設(shè)，在中，由余弦定理，求得，在中，求得，根據(jù)，故，即可求得，由四邊形，即可求得四邊形的面積；

（2）要使四邊形的面積最大，則點(diǎn)和點(diǎn)應(yīng)在的兩側(cè)，且使得的面積最大，在中，根據(jù)余弦定理和均值不等式可得，結(jié)合三角形面積公式即可求得答案.

（1）設(shè)，在中，

由余弦定理，得，

同理在中，.

，

，

即，解得.

，，

又，，

，，

四邊形

（2）要使四邊形的面積最大，則點(diǎn)和點(diǎn)應(yīng)在的兩側(cè)，且使得的面積最大.

在中，，

，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，

即當(dāng)時(shí)，.

又，

，

四邊形面積的最大值為，

此時(shí)為等邊三角形，即且點(diǎn)與點(diǎn)分居于的兩側(cè).