Question

【題目】如圖，三棱柱的各棱長(zhǎng)均相等， 底面，E，F分別為棱的中點(diǎn)．

（1）過(guò)作平面α，使得直線(xiàn)BE//平面α，若平面α與直線(xiàn)交于點(diǎn)H，指出點(diǎn)H所在的位置，并說(shuō)明理由；

（2）求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）.

【解析】試題分析：（1）由直線(xiàn)平面，利用線(xiàn)面平行的判定定理可得直線(xiàn)直線(xiàn)，又直線(xiàn)，可得四邊形是平行四邊形，則，即點(diǎn)為的中點(diǎn)；（2）取的中點(diǎn)，由于兩兩互相垂直，所以可以為軸建立如空間直角坐標(biāo)系，分別根據(jù)向量垂直數(shù)量積為零列方程組求出平面與平面的一個(gè)法向量，根據(jù)空間向量夾角余弦公式，可得結(jié)果.

試題解析：（1）如圖所示，平面FHA1即為平面α，H點(diǎn)為線(xiàn)段BB1的中點(diǎn)．

理由如下：

因?yàn)橹本�(xiàn)BE//平面α，平面α∩平面AB1=A1H，直線(xiàn)BE平面AB1，

所以直線(xiàn)BE//直線(xiàn)A1H，又A1E//直線(xiàn)BH，

所以四邊形BEA1H是平行四邊形，則BH= A1E，

即H點(diǎn)為BB1的中點(diǎn)．

（2）如圖，取B1C1的中點(diǎn)Q，顯然FC，FQ，FA兩兩互相垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系F-xyz如圖所示．

不妨設(shè)棱長(zhǎng)為2，則H（-1，1，0），A1（0，2， ），

則， ，

設(shè)面FHA1的法向量，

則由得

令，得．

取平面BFH的一個(gè)法向量，

于是．

所以二面角的余弦值為．

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查線(xiàn)面平行的證明以及利用空間向量求二面角，屬于難題.空間向量解答立體幾何問(wèn)題的一般步驟是：（1）觀(guān)察圖形，建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；（2）寫(xiě)出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出相應(yīng)直線(xiàn)的方向向量；（3）設(shè)出相應(yīng)平面的法向量，利用兩直線(xiàn)垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系；（5）根據(jù)定理結(jié)論求出相應(yīng)的角和距離.