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在△ABC中，內角A，B，C滿足4sin Asin C-2cos （A-C）=1．
（Ⅰ） 求角B的大�。�
（Ⅱ） 求sinA+2sinC的取值范圍．
考點：三角函數(shù)中的恒等變換應用
專題：計算題,三角函數(shù)的求值
分析：（Ⅰ）利用兩角和與差的三角函數(shù)化簡函數(shù)的表達式，求出A+C的三角函數(shù)值，即可求角B的大小；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的結果，化簡sinA+2sinC為 A的三角函數(shù)，通過正弦函數(shù)的值域求出表達式的取值范圍．
解答： 解：（Ⅰ）∵4sinAsinC-2cos（A-C）=4sinAsinC-2cosAcosC-2sinAsinC
=-2（cosAcosC-sinAsinC），
∴-2cos（A+C）=1，
故cosB=
1
2
．
又0＜B＜π，
∴B=
π
3
．                       …（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知C=
2π
3
-A，
故sinA+2sinC=2sinA+
3
cosA=
7
sin（A+θ），
其中0＜θ＜
π
2
，且sinθ=
21
7
，cosθ=
2
7
7
．tanθ=
3
2
，（θ≈
π
4.4
大約41°）
∵
3
2
∈(
3
3
，1)，∴θ∈(
π
6
，
π
4
)
由0＜A＜
2π
3
知，θ＜A+θ＜
2π
3
+θ，
當A+θ=
π
2
時，函數(shù)取得最大值，最大值為：
7
．
當sinθ=
21
7
，cosθ=
2
7
7
，A=
2π
3
時，函數(shù)取得最小值為：2×
3
2
+
3
×(-
1
2
)=
3
2
，
∴sinA+2sinC∈（
3
2
，
7
]．           …（14分）．
點評：本題主要考查三角變換、三角函數(shù)值域等基礎知識，同時考查運算求解能力．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若某幾何體的三視圖（單位：cm）如圖所示，則該幾何體的體積等于（　�。�
A、10cm3
B、20cm3　
C、30cm3
D、40cm3

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為
x=
2
+2cosθ
y=2sinθ
（θ為參數(shù)），若以直角坐標系xOy的原點為極點，Ox為極軸，且長度單位相同，建立極坐標系，直線l的極坐標方程為ρsin（θ+
π
4
）=0，求與直線l垂直且與曲線C相切的直線m的極坐標方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在直角坐標平面內，A點在（4，0），B點在圓（x-2）2+y2=1上，以AB為邊作正△ABC（A、B、C按順時針排列），則頂點C的軌跡是（　�。�
A、圓B、橢圓
C、拋物線D、雙曲線的一支

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在圓（x-3）2+（y-5）2=2的切線中，滿足在兩坐標軸上截距相等的直線共有（　�。�
A、2條B、3條C、4條D、5條

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的最大值為2，圖象的頂點在直線y=x+1上，并且圖象經(jīng)過點（3，-2）．
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）當0≤x≤3時，求二次函數(shù)的最大值與最小值，并求此時x的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（1）解關于x的不等式
1-x
x+1
≥0；
（2）記（1）中不等式的解集為A，設集合B={x|（x-a-1）（2a-x）＞0}，（a＜1）．若B⊆A，求實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若直線l1：x+（1+k）y=2-k與l2：kx+2y+8=0平行，則k的值是
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知某個幾何體的三視圖如圖（主視圖的弧線是半圓），根據(jù)圖中標出的數(shù)據(jù)，這個幾何體的體積是
 
．

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