Question

【題目】已知橢圓：的左頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，斜率為1的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，且，其中為坐標(biāo)原點(diǎn).

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)且與直線平行的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，若點(diǎn)滿足，且與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為，求的值.

Answer 1

【答案】（1） （2）

【解析】

(1)由題意知是以為斜邊的等腰直角三角形，從而求得B點(diǎn)坐標(biāo)，代入橢圓方程求出 ，即可得解；(2)設(shè)點(diǎn)，，，直線的方程與橢圓方程聯(lián)立求出，，，利用計(jì)算出點(diǎn)Q的坐標(biāo), 因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，整理得，因?yàn)?/span>， ，，方程解得，即.

解：（1）因?yàn)橹本�的斜率為1，且，

所以是以為斜邊的等腰直角三角形，

從而有，

代人橢圓的方程，得，解得，

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）由（1）得，所以直線的方程為.

設(shè)點(diǎn)，，，

將代入，得，

所以，，

所以.

因?yàn)?/span>，所以，所以.

設(shè)，則，，

所以

因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，

所以，

整理得，.

由上得，且可知，，

所以，整理得，

解得或（舍去），即.