Question

下面三個命題：
①命題“?x∈R，x²-x＞0”的否定是“?x∈R，x²-x≤0”；
②不等式|x-3|+|x-1|≤2的解集是[1，3]；
③正方體的內切球與其外接球的表面積之比為1：3；
其中所有正確命題的序號為

 

．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：簡易邏輯

分析：①含有量詞的否定分兩個步驟，先改量詞再改結論．
②解含有絕對值的不等式，去絕對值時要分類討論．
③正方體的內切球，即正方體的各面都與球相切，外切球是正方體各頂點都在球的表面上．

解答： 解：①含有題詞命題的否定，將存在性量詞改成成全稱量詞，再將結論改成否定．所以①正確．
②|x-3|+|x-1|≤2?

3-x+1-x  (x＜1) 3-x+x-1≤2  (1≤x≤3) 3-3+x-1≤2  (x＞3)

?

x≥1  (x＜1) 1≤1  (1≤x≤3) x≤3  (x＞3)

?1≤x≤3．所以②正確．
③設正方體的棱長為a，則內切球半經r=

a

2

，外切球半徑R=

3 a

2

，所以

S內表

S外表

=

4π( a 2 )2

4π( 3 a 2 )2

=

1

3

．所以③正確．
故答案為：①②③．

點評：命題的否定有類情況：一類是不含有量詞，其否定是，把條件和結論都改成否定；一類是含有量詞，其否定是，先改量詞再把結論改成否定．
正方體的內切球、外切球要搞清楚球與正方體的關系，面積比等于邊長比的平方．