Question

4．在平面直角坐標(biāo)系xoy中，點(diǎn)P到兩點(diǎn)M$（{0，-\sqrt{3}}）$、N（0，$\sqrt{3}$）的距離之和等于4．設(shè)點(diǎn)P的軌跡為C．
（1）寫(xiě)出軌跡C的方程；
（2）設(shè)直線(xiàn)y=$\frac{1}{2}$x+1 與C交于A、B兩點(diǎn)，求|AB|的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）設(shè)P（x，y），運(yùn)用橢圓的定義，可得2a=4，再由橢圓的a，b，c的關(guān)系，可得b，進(jìn)而得到橢圓方程；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯(lián)立直線(xiàn)方程和橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式，計(jì)算即可得到所求值．

解答 解：（1）設(shè)P（x，y），
∵$|{PM}|+|{PN}|=4＞2\sqrt{3}=|{MN}|$，
由橢圓定義可知，點(diǎn)P的軌跡C是以M、N為焦點(diǎn)，長(zhǎng)半軸為2的橢圓，
它的短半軸b=$\sqrt{{2}^{2}-（\sqrt{3}）^{2}}$=1，
故曲線(xiàn)C的方程為x²+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
其坐標(biāo)滿(mǎn)足$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{4{x}^{2}+{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，
消去y并整理得（4+k²）x²+2kx-3=0，
故x₁+x₂=-$\frac{2k}{4+{k}^{2}}$，x₁x₂=-$\frac{3}{4+{k}^{2}}$，
當(dāng)k=$\frac{1}{2}$時(shí)，x₁+x₂=-$\frac{4}{17}$，x₁x₂=-$\frac{12}{17}$，
即有|AB|=$\sqrt{1+\frac{1}{4}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$•$\sqrt{\frac{16}{289}+\frac{48}{17}}$=$\frac{4\sqrt{65}}{17}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程的求法，注意運(yùn)用橢圓的定義，考查弦長(zhǎng)的求法，注意運(yùn)用直線(xiàn)方程和橢圓方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．