Question

設函數(shù)f（x）=|x-a|，a∈R．
（1）當a=1時，解不等式：f（x-1）+f（1-x）≤2；
（2）若存在x，使得不等式f（x-a）+f（x+a）≤1-a成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：絕對值不等式的解法

專題：計算題,函數(shù)的性質及應用,不等式的解法及應用

分析：（1）求出a=1的f（x）解析式，討論當x≥2時，當0＜x＜2時，當x≤0時，不等式的解，最后求并集即可；
（2）要使存在x，使得不等式f（x-a）+f（x+a）≤1-a成立，只要求出f（x-a）+f（x+a）的最小值即可，構造函數(shù)g（x）=f（x-a）+f（x+a），借助于三角不等式的性質求g（x）的最小值，再解絕對值不等式即可得到a的范圍．

解答： 解：（1）當a=1時，f（x-1）+f（1-x）≤2即為
|x-2|+|x|≤2，
當x≥2時，不等式即為x-2+x≤2，解得x≤2，即有x=2；
當0＜x＜2時，不等式即為2-x+x≤2，成立，即有0＜x＜2；
當x≤0時，不等式即為2-x-x≤2，解得x≥0，即有x=0．
則原不等式的解集為[0，2]；
（2）f（x-a）+f（x+a）≤1-a
設g（x）=f（x-a）+f（x+a）=|x-2a|+|x|，
由|x-2a|+|x|≥|x-2a-x|=|2a|，
得g（x）的最小值為|2a|．
從而存在x，使得不等式f（x-a）+f（x+a）≤1-a成立，
即存在x∈R，使得g（x）≤1-a成立，即有|2a|≤1-a，
即有

1-a≥0 a-1≤2a≤1-a

，解得-1≤a≤

1

3

．
所以a的取值范圍為[-1，

1

3

]．

點評：本題考查了絕對值不等式的解法以及絕對值函數(shù)的值域的求法，解決存在性問題，注意轉化為求函數(shù)的最值，屬于中檔題和易錯題．