Question

3．數(shù)列{a_n}，a${\;}_{n}=（-1）^{n+1}\frac{1}{n}$，其前n項和為S_n，求證：S${\;}_{2n}＜\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 推出S_2n=$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$+…+$\frac{1}{n+n}$．放縮相加即得結論．

解答 證明：∵a_n=$\frac{（-1）^{n+1}}{n}$，
∴S_2n=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n}$
=（1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{2n-1}$+$\frac{1}{2n}$）-（1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}$）
=$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$+…+$\frac{1}{n+n}$．
∴S_2n=$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$+…+$\frac{1}{n+n}$≤$\frac{1}{\sqrt{2}n}$+$\frac{1}{\sqrt{2}n}$+…+$\frac{1}{\sqrt{2}n}$=n•$\frac{1}{\sqrt{2}n}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
即有S${\;}_{2n}＜\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題考查數(shù)列的求和，考查數(shù)學歸納法，注意解題方法的積累，屬于中檔題．