Question

14．在數(shù)列{a_n}中，a₁=3，若函數(shù)y=3x-2的圖象經(jīng)過點（a_n+1，a_n）
（1）求證：數(shù)列{a_n-1}為等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項公式及前n項和S_n．

Answer 1

分析 （1）將a_n=3a_n+1-2兩邊減1，可得a_n-1=3（a_n+1-1），應(yīng)用等比數(shù)列的定義，即可得證；
（2）由（1）令C_n=a_n-1，由等比數(shù)列的通項，得到C_n的通項，從而得到a_n；然后利用等比數(shù)列求和公式求和即可．

解答 （1）證明：∵點P（a_n+1，a_n）在函數(shù)y=3x-2的圖象上，
∴a_n=3a_n+1-2，
∴a_n-1=3（a_n+1-1），
∴數(shù)列{a_n-1}是以2為首項，$\frac{1}{3}$為公比的等比數(shù)列；
（2）解：令C_n=a_n-1，
∴C₁=a₁-1=2
∵{C_n}是公比為$\frac{1}{3}$的等比數(shù)列，
∴C_n=2•（$\frac{1}{3}$）^n-1
即a_n-1=2•（$\frac{1}{3}$）^n-1
∴a_n=2•（$\frac{1}{3}$）^n-1+1；
令S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n
令S_n=2[1+$\frac{1}{3}$+$（{\frac{1}{3}）}^{2}$+${（\frac{1}{3}）}^{3}$+…+${（\frac{1}{3}）}^{n-1}$]+n
=$2×\frac{1（1-{（\frac{1}{3}）}^{n}）}{1-\frac{1}{3}}$+n
=$3（1-\frac{1}{{3}^{n}}）+n$
=n+3-$\frac{1}{{3}^{n-1}}$．

點評 本題考查數(shù)列的通項和求和，等比數(shù)列的判斷，遞推關(guān)系式的應(yīng)用，主要考查等比數(shù)列的通項公式及應(yīng)用，分組求和，屬于中檔題．