Question

5．已知函數(shù)f（x）=x³-ax．
（1）求證：當(dāng)1＜a＜4時，方程f（x）=0在（1，2）內(nèi)有根；
（2）若函數(shù)f（x）在[1，+∞）上是單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)零點(diǎn)存在性定理直接判斷即可，即只需說明f（1）f（2）＜0；
（2）若函數(shù)f（x）在[1，+∞）上遞增，則其導(dǎo)函數(shù)f′（x）≥0在[1，+∞）恒成立，然后分離參數(shù)a，求出函數(shù)的最值即可解決問題．

解答 解：（1）顯然函數(shù)f（x）在（1，2）上連續(xù)，而1＜a＜4，所以1-a＜0，4-a＞0．
所以f（1）f（2）=（1-a）（8-2a）=2（1-a）（4-a）＜0，
所以方程f（x）=0在（1，2）內(nèi)有根．
（2）由題意f′（x）=3x²-a≥0在[1，+∞）上恒成立，
即a≤3x²在[1，+∞）上恒成立，
易知y=3x²在[1，+∞）上遞增，所以y_min=3×1²=3，
故所求a的范圍是（-∞，3]．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)判斷的方法以及已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)范圍的問題，主要是分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．