Question

3．在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，且b+c=acosC+$\sqrt{3}$asinC．
（1）求A；
（2）若$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AB}$=$\sqrt{3}$，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正弦定理、兩角和的正弦公式、內(nèi)角的范圍化簡(jiǎn)已知的式子，由輔助角公式、兩角差的正弦公式化簡(jiǎn)求出sin（A-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，由A的范圍和特殊角的正弦值求出A；
（2）根據(jù)向量的數(shù)量積運(yùn)算化簡(jiǎn)已知的式子，代入三角形的面積公式求出△ABC的面積．

解答 解：（1）由題意得，b+c=acosC+$\sqrt{3}$asinC，
由正弦定理得，sinB+sinC=sinAcosC+$\sqrt{3}$sinAsinC，
則sin（A+C）+sinC=sinAcosC+$\sqrt{3}$sinAsinC，
sinCcosA+sinC=$\sqrt{3}$sinAsinC，
又sinC≠0，則cosA+1=$\sqrt{3}$sinA，
所以$\sqrt{3}$sinA-cosA=1，則2sin（A-$\frac{π}{6}$）=1，
即sin（A-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，
因?yàn)?＜A＜π，所以-$\frac{π}{6}$＜A-$\frac{π}{6}$＜$\frac{5π}{6}$，則A-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{6}$，
所以A=$\frac{π}{3}$；
（2）由$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AB}=\sqrt{3}$得，$|\overrightarrow{AC}|•|\overrightarrow{AB}|cosA=\sqrt{3}$，
所以$|\overrightarrow{AC}|•|\overrightarrow{AB}|=2\sqrt{3}$，
則△ABC的面積S=$\frac{1}{2}|\overrightarrow{AC}|•|\overrightarrow{AB}|sinA$=$\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正弦定理及面積公式的運(yùn)用，兩角和與差的正弦公式、輔助角公式，同時(shí)考查向量數(shù)量積運(yùn)算的運(yùn)用，注意內(nèi)角的范圍，考查化簡(jiǎn)、變形能力，屬于中檔題．