Question

8．在銳角△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a，b，c，已知a+2b=4，asinA+4bsinB=6asinBsinC，則△ABC的面積的最小值為$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 根據(jù)正弦定理化簡已知的式子，由面積公式可得a²+4b²=12S，運用條件和基本不等式求出S的最小值．

解答 解：由正弦定理知，asinA+4bsinB=6asinBsinC即為a²+4b²=6absinC，
因為S=$\frac{1}{2}$absinC，所以a²+4b²=12S，
由a+2b=4得，a²+4b²=（a+2b）²-4ab=16-4ab，
則4ab=16-12S，
因為4ab≤2（$\frac{a+2b}{2}$）²=8，
所以16-12S≤8，解得S≥$\frac{2}{3}$，當(dāng)且僅當(dāng)a=2b=2，取得等號．
此時a=2、b=1，S取得最小值為$\frac{2}{3}$，
故答案為：$\frac{2}{3}$．

點評 本題考查正弦定理及面積公式的運用，同時考查基本不等式的運用，考查化簡、變形能力，屬于中檔題．