Question

【題目】已知的三頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，．

（1）求的外接圓圓M的方程；

（2）已知?jiǎng)狱c(diǎn)P在直線上，過點(diǎn)P作圓M的兩條切線PE,PF，切點(diǎn)分別為E,F.

①記四邊形PEMF的面積分別為S，求S的最小值；

②證明直線EF恒過定點(diǎn).

Answer 1

【答案】(1) (2) ①4；②定點(diǎn)，證明見解析

【解析】

（1）設(shè)圓M的方程為（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0），分別代入A，B，C三點(diǎn)，解方程可得a，b，r，可得所求圓M的方程；

（2）①由三角形的面積公式可得S＝|PE||EM|＝2|PE|，結(jié)合勾股定理和點(diǎn)到直線的距離公式，可得所求最小值；

②判斷四點(diǎn)P，E，M，F共圓，求得以PM為直徑的圓的方程和圓M方程，相減可得直線EF的方程，再由直線恒過定點(diǎn)的求法，可得所求定點(diǎn)．

（1）設(shè)的外接圓圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為，根據(jù)題意有

故所求的圓M的方程為

（2）①，故當(dāng)最小時(shí)，S最小．

的最小值即為點(diǎn)到直線的距離

故

②由圓的切線性質(zhì)有，則，，，，四點(diǎn)共圓，該圓是以PM為直徑的圓，設(shè)圓心為點(diǎn)N．點(diǎn)P是直線上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，則圓N的方程為

圓M與圓N相交于點(diǎn)E,F

由消去，得直線EF的方程為

即，令得

故直線EF恒過定點(diǎn).