Question

8．已知數(shù)列{a_n}的各項都為正數(shù)，且對任意的正整數(shù)n，都有a_n²=2S_n-a_n，其中S_n是數(shù)列{a_n} 的前n 項和．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n} 的通項公式；
（Ⅱ）設b_n=3ⁿ+（-1）^n-1 λ•2^a_n （ λ 為非零整數(shù)），試確定λ 的值，使得對任意正整數(shù)n，都有b_n+1＞b_n成立．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由a_n²=2S_n-a_n，得當n≥2時，a_n-1²=2S_n-1-a_n-1，兩式作差得數(shù)列{a_n}是以1為首項，公差為1的等差數(shù)列，則數(shù)列{a_n} 的通項公式可求；
（Ⅱ）b_n=3ⁿ+（-1）^n-1λ•${2}^{{a}_{n}}$=3ⁿ+（-1）^n-1•λ•2ⁿ．要使b_n+1＞b_n成立．即$_{n+1}-_{n}={3}^{n+1}-{3}^{n}$+（-1）ⁿλ•2ⁿ⁺¹-（-1）^n-1λ•2ⁿ=2•3ⁿ-3λ（-1）^n-1•2ⁿ＞0成立．可得（-1）^n-1λ＜$（\frac{3}{2}）^{n-1}$恒成立．然后分n為奇數(shù)，n為偶數(shù)討論即可求得λ 的值．

解答 解：（Ⅰ）當n=1時，2S₁=a₁²+a₁．∴a₁=1，
當n≥2時，由a_n²=2S_n-a_n，得a_n-1²=2S_n-1-a_n-1，
兩式作差并整理，得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，
∵a_n+a_n-1＞0，∴a_n-a_n-1=1，
∴數(shù)列{a_n}是以1為首項，公差為1的等差數(shù)列．
∴a_n=1+（n-1）×1=n；
（Ⅱ）∵a_n=n，∴b_n=3ⁿ+（-1）^n-1λ•${2}^{{a}_{n}}$=3ⁿ+（-1）^n-1•λ•2ⁿ．
要使b_n+1＞b_n成立．即$_{n+1}-_{n}={3}^{n+1}-{3}^{n}+（-1）^{n}λ•{2}^{n+1}$-（-1）^n-1λ•2ⁿ
=2•3ⁿ-3λ（-1）^n-1•2ⁿ＞0成立．
可得（-1）^n-1λ＜$（\frac{3}{2}）^{n-1}$恒成立．
①當n為奇數(shù)時，λ＜$（\frac{3}{2}）^{n-1}$，即λ＜$（\frac{3}{2}）^{0}$=1；
②當n為偶數(shù)時，λ＞-$（\frac{3}{2}）^{n-1}$，∴λ＞-$\frac{3}{2}$．
∴-$\frac{3}{2}$＜λ＜1，且λ為非零整數(shù)，
∴λ=-1．

點評 本題考查了數(shù)列的遞推式、數(shù)列不等式的恒成立問題，考查了轉化思想、運算能力，屬于中檔題．