Question

如圖，四棱椎P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是矩形，PA=AB=1，PD與平面 ABCD所成的角是30°，點(diǎn)F是PB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊BC上移動(dòng)。

（1）當(dāng)點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)時(shí)，試判斷EF與平面PAC的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（2）證明：無(wú)論點(diǎn)E在邊BC的何處，都有AF⊥PE；
（3）求當(dāng)BE的長(zhǎng)為多少時(shí)，二面角P-DE-A的大小為45°。

Answer 1

解：（1）平行。
因?yàn)镋F//PC，且EF平面PAC，PC平面PAC，
所以EF//平面PAC。
（2）∵PA⊥平面ABCD，BE平面ABCD，
 ∴PA⊥BE，
又BE⊥AB，AB∩AP=A，
所以BE⊥平面PAB，
又AF平面PAB ，
所以AF⊥BE，
又PA=AB=1，點(diǎn)F是PB的中點(diǎn)，
所以AF⊥PB，
又因?yàn)镻B∩BE=B，
所以AF⊥平面PBE，
因?yàn)镻E平面PBE，
所以AF⊥PE。
（3）過(guò)A作AG⊥DE于G，連結(jié)PG，
又DE⊥PA，則DE⊥平面PAG，
則∠PGA是二面角P-DE-A的平面角，
所以∠PGA=45°，
解得：BE=。