Question

【題目】設(shè)各項均為正數(shù)的數(shù)列的前n項和為，已知，且，對一切都成立．

（1）當時，證明數(shù)列是常數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；

（2）是否存在實數(shù)，使數(shù)列是等差數(shù)列？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明詳見解析；；（2）存在，．

【解析】

（1）根據(jù)數(shù)列遞推關(guān)系可得，即可證明數(shù)列是常數(shù)列，再進一步求出數(shù)列的通項公式；

（2）先根據(jù)數(shù)列的前3項成等差數(shù)列求得，再證明一般性也成立.

解：（1）①當時，，

則，

即．

∵數(shù)列的各項均為正數(shù)，

∴．

∴，

化簡，得，①

∴當時，，②

②-①，得，

∵當時，，∴時上式也成立，

∴數(shù)列是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，即．

（2）由題意，令，得；令，得．

要使數(shù)列是等差數(shù)列，必須有，解得．

當時，，且．

當時，，

整理，得，即，

從而，

化簡，得，即．

綜上所述，可得，．

∴時，數(shù)列是等差數(shù)列．