Question

【題目】設(shè)數(shù)列的各項均為不等的正整數(shù)，其前項和為，我們稱滿足條件“對任意的，均有”的數(shù)列為“好”數(shù)列．

（1）試分別判斷數(shù)列，是否為“好”數(shù)列，其中，，，并給出證明；

（2）已知數(shù)列為“好”數(shù)列．

① 若，求數(shù)列的通項公式；

② 若，且對任意給定正整數(shù)（），有成等比數(shù)列，求證：．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】

（1）由，運用等差數(shù)列的求和公式，通過檢驗即可判斷（2）對任意的，均有，令，則，即，消去，可得從而證明為等差數(shù)列，①進(jìn)而求其通項公式② 若，則，由成等比數(shù)列，運用等比中項性質(zhì)，結(jié)合等差數(shù)列的通項公式，化簡整理，求得的表達(dá)式，分析整理由不等式性質(zhì)，即可得證.

（1）若，則，所以，

而，

所以對任意的均成立，

即數(shù)列是“好”數(shù)列；

若，取，

則，，

此時，

即數(shù)列不是“好”數(shù)列．

（2）因為數(shù)列為“好”數(shù)列，取，則，即恒成立．

當(dāng)，有，

兩式相減，得（），

即（），

所以（），

所以，

即，即（），

當(dāng)時，有，即，

所以對任意，恒成立，

所以數(shù)列是等差數(shù)列．

設(shè)數(shù)列的公差為，

① 若，則，即，

因為數(shù)列的各項均為不等的正整數(shù)，所以，

所以，，所以．

② 若，則，

由成等比數(shù)列，得，所以，

即

化簡得，，

即．

因為是任意給定正整數(shù)，要使，必須，

不妨設(shè)，由于是任意給定正整數(shù)，

所以．