Question

18．已知直線l：$\left\{\begin{array}{l}{x=1+2t}\\{y=2+t}\end{array}\right.$（t為參數），曲線C：ρ=3．
（1）求直線l被曲線C所截得的弦長；
（2）求（1）中弦的中點的坐標．

Answer 1

分析 （1）直線l：$\left\{\begin{array}{l}{x=1+2t}\\{y=2+t}\end{array}\right.$（t為參數），消去參數t化為普通方程．利用$ρ=\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$可把曲線C：ρ=3，化為直角坐標方程．利用點到直線的距離公式求出圓心C（0，0）到直線l的距離d，再利用小城故事：弦長=2$\sqrt{{r}^{2}-lprzxl7^{2}}$即可得出．
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），中點M（x₀，y₀）．把x=2y-3代入圓的方程可得：5y²-12y=0，解出交點坐標，再利用中點坐標公式即可得出．

解答 解：（1）直線l：$\left\{\begin{array}{l}{x=1+2t}\\{y=2+t}\end{array}\right.$（t為參數），消去參數t化為：x-2y+3=0．
曲線C：ρ=3，化為x²+y²=9，r=3．
∴圓心C（0，0）到直線l的距離d=$\frac{3}{\sqrt{{1}^{2}+（-2）^{2}}}$=$\frac{3}{\sqrt{5}}$，
∴直線l被曲線C所截得的弦長=2$\sqrt{{r}^{2}-hfnhn9x^{2}}$=$2\sqrt{9-（\frac{3}{\sqrt{5}}）^{2}}$=$\frac{12\sqrt{5}}{5}$．
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），中點M（x₀，y₀）．
把x=2y-3代入圓的方程可得：5y²-12y=0，
解得$\left\{\begin{array}{l}{y=0}\\{x=-3}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{12}{5}}\\{x=\frac{9}{5}}\end{array}\right.$．
∴x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=-$\frac{3}{5}$，y₀=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$=$\frac{6}{5}$．
∴弦AB的中點的坐標為$（-\frac{3}{5}，\frac{6}{5}）$．

點評 本題考查了極坐標方程化為直角坐標方程、參數方程化為普通方程、點到直線的距離公式、中點坐標公式、弦長公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．