Question

8．已知函數(shù)f（x）=$\frac{lnx}{x}$．
（1）求f（x）在x=1處的切線方程及f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）求f（x）在[2a，4a]（a＞0）上的最小值．

Answer 1

分析 （1）求切線上點(diǎn)，f（1）=0得點(diǎn)（1，0），求切線的斜率f'（1）=1=k，求切線
（2）利用（1）的結(jié)論，函數(shù)在（0，e）上，f（x）遞增，在（e，+∞）上，f（x）遞減，只需討論2a和4a距離e的遠(yuǎn)近，距離越遠(yuǎn)函數(shù)值越�。�

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
f（1）=0，f'（1）=1=k，
∴切線方程為y-0=k（x-1），
∴y=x-1，
f′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
當(dāng)在（0，e）上，f′（x）＞0，f（x）遞增，
當(dāng)在（e，+∞）上，f′（x）＜0，f（x）遞減；
（2）由（1）可知函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，
當(dāng)e≤3a即a≥$\frac{e}{3}$時，f（x）min=f（4a）=$\frac{ln4a}{4a}$，
當(dāng)e＞3a即a＜$\frac{e}{3}$時，f（x）min=f（2a）=$\frac{ln2a}{2a}$．

點(diǎn)評 考察了切線的求法和閉區(qū)間最值的求法，難點(diǎn)是參數(shù)的討論問題．