Question

已知數(shù)列的前項(xiàng)和為滿足，且.

（1）試求出的值；

（2）根據(jù)的值猜想出關(guān)于的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論.

 

Answer 1

（1），，；（2）猜想：，證明詳見(jiàn)解析.

【解析】

試題分析：本試題主要考查數(shù)列的前項(xiàng)的求解和數(shù)學(xué)歸納法的綜合運(yùn)用.(1)運(yùn)用賦值的思想得出；（2）先由求出的幾項(xiàng)與序號(hào)的關(guān)系，猜想的表達(dá)式，進(jìn)而運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)分兩步證明，注意證明要用到假設(shè).
（1）依條件可知

而當(dāng)時(shí)有

所以， 3分

（2）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111720175861727883/SYS201411172018117115215087_DA/SYS201411172018117115215087_DA.013.png">，，，故可猜想 5分

①當(dāng)時(shí)，左邊，右邊，故等式成立 7分

②假設(shè)時(shí)，成立，即 8分

則當(dāng)時(shí)，

左邊右邊

所以當(dāng)時(shí)，等式也成立 11分

由①②可知，對(duì)，等式成立 12分.

考點(diǎn)：1.數(shù)列的遞推關(guān)系式；2.數(shù)學(xué)歸納法.