Question

某位收藏愛好者鑒定一批物品中的每一件時，將正品錯誤地堅定為贗品的概率為，將贗品錯誤地堅定為正品的概率為．已知這批物品一共4件，其中正品3件，贗品1件
（1）求該收藏愛好者的鑒定結果為正品2件，贗品2件的概率；
（2）求該收藏愛好者的鑒定結果中正品數為X的分布列及期望．

Answer 1

【答案】分析：（1）有兩種可能得到結果為正品2件，贗品2件其一是錯誤地把一件正品鑒定成贗品，其他鑒定正確；其二是錯誤地把兩件正品鑒定成贗品，把一件贗品鑒定成正品，其他鑒定正確．由此能求出該收藏愛好者的鑒定結果為正品2件，贗品2件的概率．
（2）由題設知X的可能取值為0，1，2，3，4．分別求出P（X=0），P（X=1），P（X=2），P（X=3），P（X=4）的值，由此能求出X的分布列和期望．
解答：解：（1）有兩種可能得到結果為正品2件，贗品2件
其一是錯誤地把一件正品鑒定成贗品，其他鑒定正確；
其二是錯誤地把兩件正品鑒定成贗品，把一件贗品鑒定成正品，其他鑒定正確．…（3分）
∴…（6分）
（2）由題設知X的可能取值為0，1，2，3，4，
；
；
；
；
，
故X的分布列為

X=i		1	2	3	4
P（X=i）

…（12分）
點評：本題考查概率的求法和求離散型隨機變量的分布列和數學期望，是歷年高考的必考題型．解題時要認真審題，仔細解答，注意概率知識的靈活運用．