Question

某位收藏愛好者鑒定一批物品中的每一件時，將正品錯誤地堅定為贗品的概率為

1

3

，將贗品錯誤地堅定為正品的概率為

1

2

．已知這批物品一共4件，其中正品3件，贗品1件
（1）求該收藏愛好者的鑒定結果為正品2件，贗品2件的概率；
（2）求該收藏愛好者的鑒定結果中正品數(shù)為X的分布列及期望．

Answer 1

分析：（1）有兩種可能得到結果為正品2件，贗品2件其一是錯誤地把一件正品鑒定成贗品，其他鑒定正確；其二是錯誤地把兩件正品鑒定成贗品，把一件贗品鑒定成正品，其他鑒定正確．由此能求出該收藏愛好者的鑒定結果為正品2件，贗品2件的概率．
（2）由題設知X的可能取值為0，1，2，3，4．分別求出P（X=0），P（X=1），P（X=2），P（X=3），P（X=4）的值，由此能求出X的分布列和期望．

解答：解：（1）有兩種可能得到結果為正品2件，贗品2件
其一是錯誤地把一件正品鑒定成贗品，其他鑒定正確；
其二是錯誤地把兩件正品鑒定成贗品，把一件贗品鑒定成正品，其他鑒定正確．…（3分）
∴P(X=2)=

C

1 3

×(

1

3

)×(

2

3

)2×

1

2

+

C

2 3

×(

1

3

)2×(

2

3

)×

1

2

=

1

3

…（6分）
（2）由題設知X的可能取值為0，1，2，3，4，
P(X=0)=(

1

3

)3×

1

2

=

1

54

；
P(X=1)=

C

1 3

×(

1

3

)2×(

2

3

)×

1

2

+(

1

3

)3×

1

2

=

7

54

；
P(X=2)=

1

3

；
P(X=3)=(

2

3

)3×

1

2

+

C

1 3

×(

2

3

)2×(

1

3

)×

1

2

=

10

27

；
P(X=4)=(

2

3

)3×

1

2

=

4

27

，
故X的分布列為

X=i	0	1	2	3	4
P（X=i）	1 54	7 54	1 3	10 27	4 27

EX=

7

54

+2×

1

3

+3×

10

27

+4×

4

27

=

5

2

…（12分）

點評：本題考查概率的求法和求離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望，是歷年高考的必考題型．解題時要認真審題，仔細解答，注意概率知識的靈活運用．