Question

【題目】如圖，在多面體中，兩兩垂直，四邊形是邊長(zhǎng)為2的正方形，ACDGEF，且.

（1）證明：平面.

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.

【解析】

（1）轉(zhuǎn)化成證明平面，再證明四邊形為平行四邊形即可得到，即可得出平面.

(2)以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

（1）證明：因?yàn)?/span>兩兩垂直，//，//，

所以，所以平面，因?yàn)?/span>平面，

所以，因?yàn)樗倪呅?/span>為正方形，所以，因?yàn)?/span>，所以平面，因?yàn)?/span>所以四邊形為平行四邊形，所以，所以平面.

（2）由（1）知互相垂直，故以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，

所以.

設(shè)為平面的法向量，則

，

令，則，所以.

又因?yàn)?/span>平面，所以為平面的一個(gè)法向量，

所以，由圖可知二面角是鈍角，所以二面角的余弦值為.