Question

【題目】在數(shù)列{an}中，a1＝3，且對任意的正整數(shù)n，都有an+1＝λan+2×3n，其中常數(shù)λ＞0．

（1）設bn．當λ＝3時，求數(shù)列{bn}的通項公式；

（2）若λ≠1且λ≠3，設cn＝an，證明：數(shù)列{cn}為等比數(shù)列；

（3）當λ＝4時，對任意的n∈N*，都有an≥M，求實數(shù)M的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析（3）最大值為3．

【解析】

（1）當可得,等式兩邊同除,進而根據(jù)等差數(shù)列定義以及通項公式求解即可；

（2）將代入中,整理后得遞推關(guān)系，再根據(jù)等比數(shù)列定義即可證明；

（3）當時可得,等式兩邊同除并設,則,利用累加法求得,即可求得,再判斷數(shù)列的單調(diào)性,進而求解即可.

（1）當λ＝3時,有an+1＝3an+2×3n,

∴,

,則,

又∵,∴數(shù)列{bn}是首相為1,公差為的等差數(shù)列,

∴

（2）證明：當λ＞0且λ≠1且λ≠3時,

,

又∵,

∴數(shù)列是首項為,公比為λ的等比數(shù)列

（3）當λ＝4時,an+1＝4an+2×3n,

∴,

設pn,∴,

∴,

,

,

,

∴,

以上各式累加得:,

又∵,

∴,

∴,

∴,

,顯然數(shù)列{an}是遞增數(shù)列,

∴最小項為a1＝3,

∵對任意的n∈N*,都有an≥M,∴a1≥M,即M≤3,

∴實數(shù)M的最大值為3.