Question

12．（1）若不等式$sin（2x+\frac{π}{3}）-\frac{1}{a}＞0$對$x∈[\frac{π}{6}，\frac{π}{2}]$的所有實數(shù)x都成立，求a的取值范圍；
（2）若不等式x²-2ax+2a+1＞0對0≤x≤1的所有實數(shù)x都成立，求a的取值范圍；
（3）設a＞0且a≠1，f（x）=x²-a^x，對x∈（-1，1），均有$f（x）＜\frac{1}{2}$，求a的范圍．
（4）完成填空

	用圖象語言表述	用函數(shù)最值表述
在（a，b）內，若對任意的x有f（x）＞g（x）成立	①	②
在（a，b）內，若存在x0，使f（x）＞g（x）成立	③	④

Answer 1

分析 （1）由$x∈[\frac{π}{6}，\frac{π}{2}]$，可得$（2x+\frac{π}{3}）$∈$[\frac{2π}{3}，\frac{4π}{3}]$，于是$sin（2x+\frac{π}{3}）$∈$[-\frac{\sqrt{3}}{2}，1]$，因此$\frac{1}{a}$＜$-\frac{\sqrt{3}}{2}$，解出即可得出．
（2）不等式x²-2ax+2a+1＞0化為a（2-2x）+x²+1＞0，由于對0≤x≤1的所有實數(shù)x都成立，利用一次函數(shù)的單調性即可得出．
（3）不等式$f（x）＜\frac{1}{2}$，化為u（x）=x²-$\frac{1}{2}$＜a^x．畫出圖象，即可得出．
（4）分別畫出函數(shù)f（x）與g（x）的圖象，即可得出．

解答 解：（1）∵$x∈[\frac{π}{6}，\frac{π}{2}]$，∴$（2x+\frac{π}{3}）$∈$[\frac{2π}{3}，\frac{4π}{3}]$，
∴$sin（2x+\frac{π}{3}）$∈$[-\frac{\sqrt{3}}{2}，1]$，
∴$\frac{1}{a}$＜$-\frac{\sqrt{3}}{2}$，
解得$-\frac{2\sqrt{3}}{3}$＜a＜0．
∴a的取值范圍是$（-\frac{2\sqrt{3}}{3}，0）$．
（2）不等式x²-2ax+2a+1＞0化為a（2-2x）+x²+1＞0，
∵對0≤x≤1的所有實數(shù)x都成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2a+1＞0}\\{2＞0}\end{array}\right.$，解得$a＞-\frac{1}{2}$．
（3）不等式$f（x）＜\frac{1}{2}$，化為u（x）=x²-$\frac{1}{2}$＜a^x．畫出圖象：當1＜a時，可得：（-1）²-$\frac{1}{2}$＜a^-1，解得1＜a＜2；同理可得：當0＜a＜1時，${1}^{2}-\frac{1}{2}$＜a¹，解得$\frac{1}{2}＜a＜1$．
綜上可得a的取值范圍是：$（\frac{1}{2}，1）$∪（1，2）．
（4）①如圖所示，在區(qū)間（a，b）內，函數(shù)y=f（x）的圖象在函數(shù)y=g（x）的圖象的上方；
②函數(shù)[f（x）-g（x）]_min＞0．
③如圖所示，存在x₀∈（a，b），使得函數(shù)y=f（x）的圖象在x=x₀的點在函數(shù)y=g（x）的圖象中x=x₀點的上方；
④存在x₀∈（a，b），f（x₀）-g（x₀）＞0．

點評 本題考查了函數(shù)的圖象與性質，考查了數(shù)形結合思想方法、推理能力與計算能力，屬于中檔題．