Question

17．設(shè)a為實常數(shù)，試求函數(shù)f（x）=|sinx（a+cosx）|（x∈R）的最大值．

Answer 1

分析 由條件利用柯西本不等式、正弦函數(shù)的值域，求得函數(shù)f（x）的最大值．

解答 解：利用柯西不等式可得，函數(shù)f（x）=|sinx•（a+cosx）|=|asinx+sinxcosx|
≤$\sqrt{{a}^{2}{+sin}^{2}x}$•$\sqrt{{sin}^{2}x{+cos}^{2}x}$=$\sqrt{{a}^{2}{+sin}^{2}x}$，當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{a}{sinx}=\frac{sinx}{cosx}$時，取等號．
又$\sqrt{{a}^{2}{+sin}^{2}x}$≤$\sqrt{1{+a}^{2}}$，當(dāng)且僅當(dāng)sinx=±1，取等號．
綜上可得，當(dāng)且僅當(dāng)sinx=±1，cox=0時，兩個等號能同時取到，
即f（x）的最大值為$\sqrt{{1+a}^{2}}$．

點評 本題主要考查柯西不等式的應(yīng)用，正弦函數(shù)的值域，屬于中檔題．