Question

如圖1，在直角梯形中，，，，
. 把沿對(duì)角線折起到的位置,如圖2所示,使得點(diǎn)在平面上的正投影恰好落在線段上，連接,點(diǎn)分別為線段的中點(diǎn)．
(I)求證：平面平面；
(II)求直線與平面所成角的正弦值；
(III)在棱上是否存在一點(diǎn),使得到點(diǎn)四點(diǎn)的距離相等？請(qǐng)說明理由.

Answer 1

(I) 詳見解析； (II) ； (III) 存在點(diǎn)M滿足條件．

解析試題分析：(I)借助三角形中位線得到線線平行，進(jìn)而得到面面平行；(II)建立空間直角坐標(biāo)系，應(yīng)用空間向量知識(shí)求線面角；(III) 記點(diǎn)為，證明即可．
試題解析：
（I）因?yàn)辄c(diǎn)在平面上的正投影恰好落在線段上
所以平面，所以                        1分
因?yàn)樵谥苯翘菪?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/af/b/im6b9.png" style="vertical-align:middle;" />中，，，
，
所以，，所以是等邊三角形，
所以是中點(diǎn)，                                        2分
所以                                             3分
同理可證
又
所以平面                                 5分
（II）在平面內(nèi)過作的垂線
如圖建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，                     6分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/2f/0/npqgh1.png" style="vertical-align:middle;" />，
設(shè)平面的法向量為
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/c5/0/1trbe3.png" style="vertical-align:middle;" />，
所以有，即，
令則 所以                               8分
                                10分
所以直線與平面所成角的正弦值為                       11分
(III)存在，事實(shí)上記點(diǎn)為即可                                       12分
因?yàn)樵谥苯侨�角�?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/37/d/ty8ha3.png" style="vertical-align:middle;" />中，，     &n