Question

17．某學(xué)校在平面圖為矩形的操場(chǎng)ABCD內(nèi)進(jìn)行體操表演，其中AB=40，BC=16，O為AB上一點(diǎn)，且BO=8，線段OC、OD、MN為表演隊(duì)列所在位置（M，N分別在線段OD、OC上），點(diǎn)P為領(lǐng)隊(duì)位置，且P到BC、CD的距離均為12，記OM=d，我們知道當(dāng)△OMN面積最小時(shí)觀賞效果最好．
（1）當(dāng)d為何值時(shí)，P為隊(duì)列MN的中點(diǎn)？
（2）怎樣安排M的位置才能使觀賞效果最好？求出此時(shí)d的值．

Answer 1

分析 （1）以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，過(guò)O垂直于AB的直線為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．求出OC：y=2x，$OD：y=-\frac{1}{2}x$，設(shè)M（-2m，m），N（n，2n），（m＞0，n＞0），然后求解即可．
（2）通過(guò)k_PM=k_PN，推出4m+12n=5mn，利用三角形的面積，以及基本不等式求解即可．

解答 解：（1）以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，過(guò)O垂直于AB的直線為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．則C（8，16），B（8，0），P（-4，4）．
∴OC：y=2x；∵OC⊥OD，可得$OD：y=-\frac{1}{2}x$，
設(shè)M（-2m，m），N（n，2n），（m＞0，n＞0），
∵P為MN的中點(diǎn)，
∴$\left\{\begin{array}{l}-2m+n=-8\\ m+2n=8\end{array}\right.$∴$\left\{\begin{array}{l}m=\frac{24}{5}\\ n=\frac{8}{5}\end{array}\right.$，
此時(shí)$M（-\frac{48}{5}，\frac{24}{5}）$，$d=\frac{{24\sqrt{5}}}{5}$；…．（7分）（建系2分）
（2）∵k_PM=k_PN，∴$\frac{m-4}{-2m+4}=\frac{2n-4}{n+4}$，∴4m+12n=5mn，
∵OC⊥OD，∴${S_{△OMN}}=\frac{1}{2}OM•ON=\frac{5}{2}mn$
∵$4m+12n=5mn≥8\sqrt{3mn}$當(dāng)且僅當(dāng)$m=3n=\frac{24}{5}$時(shí)取等號(hào)，
∴$mn≥\frac{192}{25}$．∴${S_{△OMN}}=\frac{5}{2}mn≥\frac{96}{5}$，此時(shí)$d=\frac{{24\sqrt{5}}}{5}$．
答：（1）當(dāng)$d=\frac{{24\sqrt{5}}}{5}$時(shí)，P為隊(duì)列MN的中點(diǎn)；
（2）當(dāng)點(diǎn)M滿足$d=\frac{{24\sqrt{5}}}{5}$時(shí)，觀賞效果最好．…．（16分）（答1分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查解析法求解實(shí)際問(wèn)題，基本不等式的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．