Question

16．如圖，四邊形ABCD為矩形，四邊形ADEF為梯形，AD∥FE，∠AFE=60°，且平面ABCD⊥平面ADEF，AF=FE=AB=$\frac{1}{2}AD$=2，點G為AC的中點．
（1）求證：EG∥平面ABF；
（2）求三棱錐B-AEG的體積．

Answer 1

分析 （1）取AB中點M，連FM，GM，證明EG∥FM．然后證明EG∥平面ABF．
（2）作EN⊥AD，垂足為N，說明EN為三棱錐E-ABG的高．利用等體積法，通過${V}_{B-AEG}={V}_{E-ABG}=\frac{1}{3}{S}_{△ABG}•EN$求解即可．

解答 （1）證明：取AB中點M，連FM，GM．                        …（1分）
∵G為對角線AC的中點，
∴GM∥AD，且GM=$\frac{1}{2}$AD，
又∵FE∥$\frac{1}{2}$AD，
∴GM∥FE且GM=FE．
∴四邊形GMFE為平行四邊形，即EG∥FM．                …（4分）
又∵EG?平面ABF，F(xiàn)M?平面ABF，
∴EG∥平面ABF．                                        …（6分）
（2）解：作EN⊥AD，垂足為N，
由平面ABCD⊥平面AFED，面ABCD∩面AFED=AD，
得EN⊥平面ABCD，即EN為三棱錐E-ABG的高．
∵在△AEF中，AF=FE，∠AFE=60°，
∴△AEF是正三角形．
∴∠AEF=60°，
由EF∥AD知∠EAD=60°，
∴EN=AE?sin60°=$\sqrt{3}$．                                   …（10分）
∴三棱錐B-AEG的體積為${V_{B-AEG}}={V_{E-ABG}}=\frac{1}{3}{S_{△ABG}}•EN=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×\sqrt{3}=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$．      …（13分）

點評 本題考查直線與平面平行的判定定理的應用，幾何體的體積的求法，考查空間想象能力以及計算能力．轉化思想的應用．