Question

4．已知圓C：x²+y²-4x-5=0．
（Ⅰ）判斷圓C與圓D：（x-5）²+（y-4）²=4的位置關(guān)系，并說明理由；
（Ⅱ）若過點（5，4）的直線l與圓C相切，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用圓C與圓D的連心線長=圓C與圓D的兩半徑之和，判斷圓C與圓D：（x-5）²+（y-4）²=4的位置關(guān)系；
（Ⅱ）分類討論，利用圓心C（2，0）到直線l的距離=半徑，求直線l的方程．

解答 解：（Ⅰ）∵圓C的標準方程是（x-2）²+y²=9
∴圓C的圓心坐標是（2，0），半徑長r₁=3…（2分）
又圓D的圓心坐標是（5，4），半徑長r₂=2
∴圓C與圓D的連心線長為$\sqrt{{{（2-5）}^2}+{{（0-4）}^2}}=5$…（4分）
又圓C與圓D的兩半徑之和為r₁+r₂=5
∴圓C與圓D外切…（5分）
（Ⅱ）當直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x=5，符合題意 …（7分）
當直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y=k（x-5）+4，即kx-y+4-5k=0
∵直線l與圓C相切
∴圓心C（2，0）到直線l的距離d=3，即$d=\frac{{|{2k+4-5k}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=3$，解得$k=\frac{7}{24}$…（10分）
∴此時直線l的方程為$\frac{7}{24}x-y+4-\frac{35}{24}=0$，即7x-24y+61=0…（11分）
綜上，直線l的方程為x=5或7x-24y+61=0…（12分）

點評 本題考查圓與圓的位置關(guān)系，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．